Monet korkea-asteen matematiikkaa opiskelevat opiskelijat ihmettelivät luultavasti: missä differentiaaliyhtälöitä (DE) käytetään käytännössä? Pääsääntöisesti tästä kysymyksestä ei keskustella luennoissa, ja opettajat siirtyvät välittömästi DE: n ratkaisemiseen selittämättä opiskelijoille differentiaaliyhtälöiden soveltamista tosielämässä. Yritämme täyttää tämän aukon.
Aloitetaan määrittämällä differentiaaliyhtälö. Joten differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka yhdistää funktion johdannaisen arvon itse funktioon, itsenäisen muuttujan arvoihin ja joihinkin numeroihin (parametreihin).
Yleisin alue, jolla differentiaaliyhtälöitä käytetään, on luonnonilmiöiden matemaattinen kuvaus. Niitä käytetään myös sellaisten ongelmien ratkaisemiseen, joissa on mahdotonta luoda suoraa suhdetta joidenkin prosessia kuvaavien arvojen välille. Tällaisia ongelmia syntyy biologiassa, fysiikassa, taloustieteessä.
Biologiassa:
Ensimmäinen mielekäs matemaattinen malli, joka kuvaa biologisia yhteisöjä, oli Lotka-Volterra-malli. Se kuvaa kahden vuorovaikutuksessa olevan lajin populaatiota. Ensimmäinen niistä, joita kutsutaan saalistajiksi, toisen puuttuessa kuolee lain mukaan x ′ = –ax (a> 0), ja toinen - saalis - saalistajien puuttuessa moninkertaistuu loputtomiin lain mukaisesti Malthus. Näiden kahden tyypin vuorovaikutus mallinnetaan seuraavasti. Uhrit kuolevat pois nopeudella, joka on yhtä suuri kuin saalistajien ja saalien kohtaamiset, jonka tämän mallin oletetaan olevan verrannollinen molempien populaatioiden kokoon, ts. Yhtä suuri kuin dxy (d> 0). Siksi y '= by-dxy. Petoeläimet lisääntyvät nopeudella, joka on verrannollinen syötyyn saaliin määrään: x '= –ax + cxy (c> 0). Yhtälöjärjestelmä
x ′ = –ax + cxy, (1)
y '= by - dxy, (2)
tällaista populaatiota kuvaavaa saalistaja-saalista kutsutaan Lotka-Volterra-järjestelmäksi (tai malliksi).
Fysiikassa:
Newtonin toinen laki voidaan kirjoittaa differentiaaliyhtälön muodossa
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), missä m on ruumiin massa, x on sen koordinaatti, F (x, t) on voima, joka vaikuttaa kehoon koordinaatilla x hetkellä t. Sen ratkaisu on kehon liikerata määritetyn voiman vaikutuksesta.
Taloustieteessä:
Tuotannon luonnollisen kasvun malli
Oletetaan, että joitain tuotteita myydään kiinteään hintaan P. Olkoon Q (t) merkitty ajankohtana t myytyjen tuotteiden määrä; silloin tulo on tällä hetkellä yhtä suuri kuin PQ (t). Olisiko osa määritellyistä tuloista käytettävä investointeihin myytyjen tuotteiden tuotantoon, ts.
I (t) = mPQ (t), (1)
missä m on sijoitusaste - vakio luku ja 0
